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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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7. Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
d) f(x)=x⋅e−xf(x)=x \cdot e^{-x}

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones. 1) Identificamos el dominio de f(x)f(x) En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de ff es todo R\mathbb{R}. 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Como el dominio es R\mathbb{R}, esta función no tiene asíntotas verticales. - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty

lim⁡x→−∞x⋅e−x=−∞ \lim_{x \to -\infty} x \cdot e^{-x} = -\infty  (Atenti, regla de signos acá!)

Ahora, ojo con este:

lim⁡x→+∞x⋅e−x \lim_{x \to +\infty} x \cdot e^{-x}

Ahora tenemos una indeterminación de tipo "cero por infinito", no te olvides regla de signos y que e−∞=0e^{-\infty} = 0. Reescribimos como un cociente:

lim⁡x→+∞xex \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x}

Ahora es una "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital:

lim⁡x→+∞1ex=0 \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x} = 0  

Por lo tanto, ff tiene una asíntota horizontal en y=0y=0 en +∞+\infty

3) Calculamos f′(x)f'(x):

f′(x)=e−x+x⋅(−e−x)=e−x−x⋅e−x=(1−x)⋅e−x f'(x) = e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x} - x \cdot e^{-x} = (1 - x) \cdot e^{-x}   4) Igualamos f′(x)f'(x) a cero para encontrar los puntos críticos:

(1−x)⋅e−x=0 (1 - x) \cdot e^{-x} = 0 Dado que e−x e^{-x} nunca es cero, el único punto crítico está dado por 1−x=0 1 - x = 0 , es decir, x=1 x = 1 .  5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) x<1 x < 1 b) x>1 x > 1   6) Evaluamos el signo de f′(x)f'(x) en cada uno de los intervalos: a) Para x<1x < 1 f′(x)>0f'(x) > 0. En este intervalo, ff es creciente. b) Para x>1x > 1 f′(x)<0f'(x) < 0. En este intervalo, ff es decreciente. Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:

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